Fundamentos Cuánticos

En este tutorial, cubriremos las cosas básicas que necesitarás saber sobre física cuántica para empezar a usar la computación cuántica y el recocido cuántico. Si tienes alguna experiencia con cualquier cosa cuántica, probablemente no necesites este tutorial.

¿Qué Significa Cuántico?

Cuántico se refiere al hecho de que en la física cuántica, ciertas propiedades de las partículas (como la energía, la posición y el espín) solo pueden tomar valores discretos, o «cuantos». Esto contrasta con la física clásica, donde estas propiedades pueden variar de manera continua. La naturaleza cuántica de las partículas conduce a fenómenos fundamentalmente diferentes a los de la física clásica, lo que en algunos casos permite nuevas capacidades que no son posibles con los ordenadores clásicos.

¿Qué es la Ventaja Cuántica?

El término «ventaja cuántica» se refiere al potencial de los ordenadores cuánticos para resolver ciertos problemas de manera más eficiente que los ordenadores clásicos. Esto se discute a menudo en el contexto de algoritmos específicos, como el algoritmo de Shor para factorizar números grandes, que puede ejecutarse exponencialmente más rápido en un ordenador cuántico que los mejores algoritmos clásicos conocidos.

La ventaja cuántica se ha demostrado para ciertos problemas específicos, pero aún es una pregunta abierta en cuanto a qué tan ampliamente puede aplicarse. Es probable que los ordenadores cuánticos puedan proporcionar enormes ventajas para algunos tipos de problemas muy específicos, mientras ofrecen una ventaja más modesta en el caso general.

También existe la consideración de que los ordenadores cuánticos tienden a ser más eficientes energéticamente que los ordenadores clásicos, al menos en el límite teórico, por lo que incluso si no proporcionan una ventaja de velocidad para un problema particular, pueden seguir siendo ventajosos en términos de consumo energético.

¿Qué es un Qubit?

La unidad más simple y fundamental de información cuántica es el qubit, que es la versión cuántica de un bit clásico. Un bit clásico solo puede estar en uno de dos estados, 0 o 1, pero un qubit puede estar en una mezcla de ambos estados al mismo tiempo.

Aunque es posible elegir cualquier «base» para representar un qubit, la más común es la base computacional, donde nuestros dos estados principales se denotan como \(|0⟩\) y \(|1⟩\). Esto se conoce como notación «bra-ket» y es una forma común de representar estados cuánticos. Por ejemplo, si en nuestro sistema tenemos un único qubit, podríamos escribir nuestro estado cuántico \(|ψ⟩\) como:

\[|ψ⟩ = |0⟩ \qquad \text{(el qubit está en el estado 0)}\]

\[|ψ⟩ = |1⟩ \qquad \text{(el qubit está en el estado 1)}\]

Si en cambio queremos usar notación matricial, podemos representar estos estados como vectores columna:

\[\begin{split}|0⟩ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

\[\begin{split}|1⟩ = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\end{split}\]

¿Qué es la Superposición?

La superposición es un concepto fundamental en mecánica cuántica, donde un qubit puede existir como \(|0⟩\) y \(|1⟩\) al mismo tiempo. Esto se representa matemáticamente como una combinación lineal de los estados base. Por ejemplo, un qubit en superposición puede escribirse como:

\[|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩\]

donde \(α\) y \(β\) son números complejos que representan la probabilidad de que el qubit esté en los estados 0 y 1, respectivamente. De manera similar, en notación matricial podemos representar este estado como:

\[\begin{split}|ψ⟩ = \begin{pmatrix} α \\ β \end{pmatrix}\end{split}\]

Cuando medimos un qubit en tal superposición, obtendremos 0 con probabilidad \(|α|^2\) y 1 con probabilidad \(|β|^2\). Por tanto, las amplitudes de probabilidad deben normalizarse para garantizar que tenemos una distribución de probabilidad válida:

\[|α|^2 + |β|^2 = 1\]

Cuando medimos un qubit, la superposición colapsa, por lo que ya no tendríamos una superposición de estados, sino que tendríamos \(|0⟩\) o \(|1⟩\). Si midiéramos el mismo qubit nuevamente inmediatamente después de la primera medición, obtendríamos el mismo resultado, ya que el estado ha colapsado a un estado definitivo.

¿Qué Sucede si Tenemos Más de un Qubit?

Cuando tenemos más de un qubit, podemos representar el estado del sistema como un producto tensorial de los qubits individuales, que generalmente escribimos colocando los estados de los qubits individuales uno al lado del otro. Por ejemplo, si tenemos dos qubits, podemos representar su estado general como:

\[|ψ⟩ = α|00⟩ + β|01⟩ + γ|10⟩ + δ|11⟩\]

donde \(α\), \(β\), \(γ\) y \(δ\) son las amplitudes de probabilidad para cada uno de los cuatro estados posibles de los dos qubits, que nuevamente deben normalizarse para tener un conjunto válido de probabilidades para medir cada estado.

Cuando pasamos a la notación matricial necesitaremos realizar el producto tensorial de los qubits individuales para obtener un vector de 4 dimensiones que represente el estado del sistema de dos qubits, por ejemplo:

\[\begin{split}|00⟩ = |0⟩ \otimes |0⟩ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

Por tanto, nuestro estado general de dos qubits en notación matricial sería:

\[\begin{split}|ψ⟩ = α\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + β\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + γ\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + δ\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} α \\ β \\ γ \\ δ \end{pmatrix}\end{split}\]

Como antes, necesitaremos asegurarnos de que nuestro estado está normalizado, es decir:

\[|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 + |δ|^2 = 1\]

¿Qué es el Entrelazamiento?

Si ahora tenemos más de un qubit, también podemos tener un fenómeno llamado entrelazamiento, donde el estado de un qubit depende del estado de otro qubit. Imaginemos que tenemos dos qubits y los preparamos en el estado:

\[|ψ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩ + |11⟩)\]

Si midiéramos el primer qubit y viéramos que está en el estado 0, sabríamos de inmediato que el segundo qubit también está en el estado 0. De manera similar para el estado 1. Esto se debe a que los dos qubits están entrelazados, y sus estados están correlacionados de tal manera que el estado de un qubit no puede describirse independientemente del estado del otro qubit.

Este entrelazamiento cuántico es un recurso clave para la física cuántica, ya que cuando se combina con la superposición puede permitir algoritmos cuánticos que resuelven ciertos problemas de manera más eficiente que los algoritmos clásicos.

¿Cómo Podemos Visualizar un Qubit?

Para un único qubit, podemos visualizar el estado del qubit usando la esfera de Bloch, que es una esfera donde cualquier punto en la superficie representa un estado cuántico válido.

Para ello, podemos representar el estado del qubit en términos de dos ángulos, \(θ\) y \(φ\), calculados a partir de las amplitudes de probabilidad \(α\) y \(β\) de la siguiente manera:

\[θ = 2 \arccos(|α|)\]

\[φ = \arg(β) - \arg(α)\]

Luego podemos trazar el punto correspondiente a estos ángulos en la superficie de la esfera de Bloch, lo que nos da una representación visual del estado del qubit. Por ejemplo, el estado \(|0⟩\) corresponde al punto en la cima de la esfera:

Otros puntos en la esfera corresponden a diferentes superposiciones de los estados \(|0⟩\) y \(|1⟩\), como el estado \(|+⟩\) en el ecuador, que es una superposición igual de \(|0⟩\) y \(|1⟩\).